Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. Основы расчета на прочность при переменных напряжениях Практические занятия по разделу

В подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность деталей, работающих при переменных напряжениях, выполняют как проверочные. Это связано в первую очередь с тем, что общий коэффициент снижения предела выносливости или в процессе конструирования детали можно выбрать лишь ориентировочно, так как у расчетчика (конструктора) на этой стадии работы имеются лишь весьма приближенные представления о размерах и форме детали. Проектный расчет детали, служащий для определения ее основных размеров, обычно выполняется приближенно без учета переменности напряжений, но по пониженным допускаемым напряжениям.

После выполнения рабочего чертежа детали производится ее уточненный проверочный расчет с учетом переменности напряжений, а также конструктивных и технологических факторов, влияющих на усталостную прочность детали. При этом определяют расчетные коэффициенты запаса прочности для одного или нескольких предположительно опасных сечений детали. Эти коэффициенты запаса сопоставляют с теми, которые назначают или рекомендуют для деталей, аналогичных проектируемой при заданных условиях ее эксплуатации. При таком проверочном расчете условие прочности имеет вид

Величина требуемого коэффициента запаса прочности зависит от целого ряда обстоятельств, основными из которых являются: назначение детали (степень ее ответственности), условия работы; точность определения действующих на нее нагрузок, надежность сведений о механических свойствах ее материала, значениях коэффициентов концентрации напряжений и т. п. Обычно

В случае, если расчетный коэффициент запаса прочности ниже требуемого (т. е. прочность детали недостаточна) или значительно выше требуемого (т. е. деталь неэкономична), приходится вносить те или иные изменения в размеры и конструкцию детали, а в отдельных случаях даже изменять ее материал.

Рассмотрим определение коэффициентов запаса прочности при одноосном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Первый из этих видов напряженного состояния, как известно, возникает при растяжении (сжатии), прямом или косом изгибе и совместном изгибе и растяжении (или сжатии) бруса. Напомним, что касательные напряжения при изгибе (прямом и косом) и сочетании изгиба с осевым нагружением в опасной точке бруса, как правило, невелики и при расчете на прочность ими пренебрегают, т. е. считают, что в опасной точке возникает одноосное напряженное состояние.

Чистый сдвиг возникает в точках работающего на кручение бруса круглого поперечного сечения.

В большинстве случаев коэффициент запаса прочности определяют в предположении, что рабочий цикл напряжений, возникающих в рассчитываемой детали при ее эксплуатации, подобен предельному циклу, т. е. коэффициенты асимметрии R и характеристики рабочего и предельного циклов одинаковы.

Наиболее просто коэффициент запаса прочности можно определить в случае симметричного цикла изменения напряжений, так как пределы выносливости материала при таких циклах обычно известны, а пределы выносливости рассчитываемых деталей можно вычислить по взятым из справочников значениям коэффициентов снижения пределов выносливости Коэффициент запаса прочности представляет собой отношение предела выносливости, определенного для детали, к номинальному значению максимального напряжения, возникающего в опасной точке детали. Номинальным является значение напряжения, определенное по основным формулам сопротивления материалов, т. е. без учета факторов, влияющих на величину предела выносливости (концентрации напряжений и т. п.).

Таким образом, для определения коэффициента запаса прочности при симметричных циклах получаем следующие зависимости:

при изгибе

при растяжении-сжатии

при кручении

При определении коэффициента запаса прочности в случае асимметричного цикла возникают затруднения, связанные с отсутствием экспериментальных данных, необходимых для построения участка линии предельных напряжений (см. рис. 7.15). Заметим, что практически нет надобности в построении всей диаграммы предельных амплитуд, так как для циклов с пределами выносливости, большими предела текучести, коэффициент запаса должен определяться по текучести (для пластичных материалов), т. е. расчет должен выполняться, как в случае статического действия нагрузки.

При наличии экспериментально полученного участка AD предельной кривой коэффициент запаса можно бы определить графоаналитическим способом. Как правило, эти экспериментальные данные отсутствуют и кривую AD приближенно заменяют прямой, построенной по каким-либо двум точкам, координаты которых определены экспериментально. В результате получают так называемую схематизированную диаграмму предельных амплитуд, которой и пользуются при практических расчетах на прочность.

Рассмотрим основные способы схематизации безопасной зоны диаграммы предельных амплитуд.

В современной расчетной практике наиболее часто применяется диаграмма Серенсена-Кинасошвили, при построении которой участок AD заменяют прямой линией, проведенной через точки А и С, соответствующие предельным симметричному и отнулевому циклам (рис. 9.15, а). Достоинством этого способа является его относительно высокая точность (аппроксимирующая прямая АС, близка к кривой недостаток его заключается в том, что необходимо кроме величины предела выносливости при симметричном цикле иметь опытные данные о величине предела выносливости ) также и при отнулевом цикле.

При пользовании этой диаграммой коэффициент запаса определяется по выносливости (усталостному разрушению), если луч циклов, подобных заданному, пересекает прямую и по текучести, - если указанный луч пересекает линию

Несколько меньшую, но во многих случаях достаточную для практических расчетов точность дает метод, основанный на проксимации участка AD предельной кривой отрезком прямой линии (рис. 9.15,б), проведенной через точки А (соответствующую симметричному циклу) и В (соответствующую предельным постоянным напряжениям).

Достоинством рассматриваемого способа является меньшее по сравнению с предыдущим количество требуемых экспериментальных данных (не нужны данные о величине предела выносливости при отнулевом цикле). Какой из коэффициентов запаса, по усталостному разрушению или по текучести, меньше, определяют так же, как и в предыдущем случае.

В третьем типе схематизированных диаграмм (рис. 9.15, в) аппроксимирующую прямую проводят через точку А и некоторую точку Р, абсцисса которой определяется в результате обработки имеющихся экспериментально полученных диаграмм предельных напряжений. Для стали с достаточной точностью можно принимать, что отрезок OP - s равен Точность таких диаграмм почти не отличается от точности диаграмм, построенных по методу Серенсена - Кинасошвили.

Особенно проста схематизированная диаграмма, в которой безопасная зона ограничена прямой AL (рис. 9.15, г). Легко видеть, что расчет по такой диаграмме весьма неэкономичен, так как на схематизированной диаграмме линия предельных напряжений расположена значительно ниже действительной линии предельных напряжений.

Кроме того, такой расчет не имеет определенного физического смысла, так как неизвестно, какой коэффициент запаса, по усталости или по текучести, будет определен. Несмотря на указанные серьезные недостатки, диаграмма по рис. 9.15, а иногда используется в зарубежной практике; в отечественной практике в последние годы такая диаграмма не применяется.

Выведем аналитическое выражение для определения коэффициента запаса прочности по усталостному разрушению на основании рассмотренных схематизированных диаграмм предельных амплитуд. На первом этапе вывода не будем учитывать влияние факторов, снижающих предел выносливости, т. е. сначала получим формулу, пригодную для нормальных лабораторных образцов.

Допустим, что точка N, изображающая рабочий цикл напряжений, находится в области (рис. 10.15) и, следовательно, при возрастании напряжений до величины, определяемой точкой наступит усталостное разрушение (как уже указывалось, предполагается, что рабочий и предельный циклы подобны). Коэффициент запаса по усталостному разрушению для цикла, изображенного точкой N, определяется как отношение

Проведем через точку N прямую , параллельную прямой и горизонтальную прямую NE.

Из подобия треугольников следует, что

Как следует из рис. 10.15,

Подставим полученные значения величин ОА и в равенство (а):

Аналогично в случае переменных касательных напряжений

Значения зависят от принятого для расчета типа схематизированной диаграммы предельных напряжений и от материала детали.

Так, если принять диаграмму Серенсена - Кинасошвили (см. рис. 9.15, а), то

аналогично,

По схематизированной диаграмме, изображенной на рис. 9.15, б,

(20.15)

аналогично,

(21.15)

Значения и при расчете по методу Серенсена - Кинасошвили можно принимать по приведенным данным (табл. 1.15).

Таблица 1.15

Значения коэффициентов для стали

При определении коэффициента запаса прочности для конкретной детали надо учесть влияние коэффициента снижения предела выносливости Опыты показывают, что концентрация напряжений, масштабный эффект и состояние поверхности отражаются только на величинах предельных амплитуд и практически не влияют на величины предельных средних напряжений. Поэтому в расчетной практике принято коэффициент снижения предела выносливости относить только к амплитудному напряжению цикла. Тогда окончательные формулы для определения коэффициентов запаса прочности по усталостному разрушению будут иметь вид: при изгибе

(22.15)

при кручении

(23.15)

При растяжении-сжатии следует пользоваться формулой (22.15), но вместо подставлять в нее предел выносливости при симметричном цикле растяжения-сжатия.

Формулы (22.15), (23.15) действительны при всех указанных способах схематизации диаграмм предельных напряжений; изменяются лишь величины коэффициентов

Формула (22.15) получена для циклов с положительными средними напряжениями для циклов с отрицательными (сжимающими) средними напряжениями следует полагать т. е. исходить из предположения о том, что в зоне сжатия линия предельных напряжений параллельна оси абсцисс.

Переменные напряжения в деталях машин различаются по виду циклов и характеру изменения цикла во времени. Циклом напряжений называют совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения при регулярном нагружении. На рис.4.2 показаны различные виды циклов переменных напряжений, характеризуемые следующими параметрами:

среднее напряжение цикла, выражающее постоянную (положительную или отрицательную) составляющую цикла напряжения:

амплитуда напряжений цикла, выражающая наибольшее положительное значение переменной составляющей цикла напряжений:

где σ m ах и σ min - максимальное и минимальное напряжения цикла, соответствующие наибольшему и наименьшему напряжениям цикла.

Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называют коэффициентом асимметрии цикла напряжений:

Симметричным называется цикл, когда максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Симметричный цикл является знакопеременным и имеет следующие параметры: σ а = σ m ах = σ min ; σ т = 0; R = - 1. Наиболее распространенный пример симметричного цикла напряжений - изгиб вращающегося вала (изгиб при вращении). Пределы выносливости, соответствующие симметричному циклу, имеют индекс «-1» (σ -1 ; τ -1).

Асимметричным называется цикл, у которого максимальное и минимальное напряжения имеют разные абсолютные значения. Для асимметричного цикла напряжений σ max = σ m + σ a ; σ min = σ m - σ a ; R ≠ - 1 Асимметричные циклы напряжений относятся к знакопеременным, если напряжения изменяются по значению и по знаку. Цикл напряжений, изменяющихся только по абсолютному значению, называется знакопостоянным. Пределы выносливости, соответствующие асимметричному циклу, обозначаются индексом «R» (σ R ; τ R).

Характерным асимметричным циклом является отнулевой цикл напряжений, к которому относятся знакопостоянные циклы напряжений, изменяющиеся при растяжении от нуля до максимума (σ min = 0) или при сжатии - от нуля до минимума (σ max = 0). При растяжении отнулевой цикл напряжений характеризуется следующими параметрами: σ m =σ a = σ max /2; R = 0. Предел выносливости отнулевого цикла обозначается индексом «0» (σ 0 ; τ 0). Отнулевые циклы напряжений возникают в зубьях шестерен и цепных звездочек, которые в процессе работы нагружаются при входе в зацепление и полностью разгружаются при выходе из него.

Сопротивление усталости зависит не только от вида действующих циклов напряжений, но и от характера изменения напряжений во времени. При стационарном нагружении значения амплитуды и среднего напряжения цикла остаются неизменными во времени. Буровые машины и оборудование, как уже отмечалось, преимущественно работают при нестационарном нагружении.

Амплитуда и среднее напряжение циклов могут иметь ступенчатый либо непрерывный характер изменения (рис. 4.3).

Количественные характеристики сопротивляемости материала действию переменных напряжений определяют путем испытания на усталость 15-20 одинаковых образцов диаметром 7-10 мм, имеющих полированную поверхность. Испытания проводят при разных уровнях напряжений. По полученным результатам строят график кривой усталости (рис. 4.4,а). По оси ординат графика откладывают максимальное напряжение или амплитуду напряжений цикла, при которых испытывался данный образец, а по оси абсцисс - число циклов N перемен напряжений, которое образец выдержал до разрушения. Полученная кривая характеризует зависимость между напряжениями и циклической долговечностью одинаковых образцов при постоянных среднем напряжении цикла либо коэффициенте асимметрии цикла.

Для большинства сталей при испытаниях на воздухе кривая усталости, начиная с числа циклов N = 10 6 ÷10 7 , становится горизонтальной и образцы, выдержавшие указанное число циклов, не разрушаются при дальнейшем практически неограниченном увеличении числа циклов нагружения. Поэтому испытания сталей прекращают при достижении 10 млн. циклов, составляющих базу испытаний N б. Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний, называют пределом выносливости . Для надежной оценки предела выносливости число неразрушившихся образцов при данном уровне переменных напряжений должно быть не менее шести.

Наиболее простыми и поэтому более распространенными являются испытания на усталость при симметричном цикле напряжений (круговой изгиб).

Испытания на усталость при асимметричном цикле напряжений проводят на специальных испытательных машинах. Кривые усталости, построенные в логарифмических координатах

(рис. 4.4,б), представляют собой наклонную и горизонтальную прямые. Для расчетов на прочность левую наклонную часть кривой усталости представляют в виде

где σ - действующее напряжение; т - показатель наклона кривой усталости; N - число циклов напряжений, выдержанных до усталостного разрушения (циклическая долговечность); σ -1 - предел выносливости; N 0 - число циклов, соответствующее точке перелома кривой усталости, представляемой двумя прямыми линиями.

Величина N 0 в большинстве случаев колеблется в пределах 10 6 -3∙10 6 циклов. В расчетах на прочность при переменных напряжениях, когда отсутствуют данные усталостных испытаний, можно принять в среднем N=2∙10 6 циклов .

Показатель наклона кривой усталости

для деталей изменяется от 3 до 20, причем с ростом эффективного коэффициента концентрации напряжений замечена тенденция к снижению т . Приближенно можно принять

где с =12 - для сварных соединений; с = 12÷20- для деталей из углеродистых сталей; с = 20÷30 - для деталей из легированных сталей.

Таблица 4.4

Из уравнения кривой усталости определяется циклическая долговечность N при действии напряжений σ, превышающих предел усталости σ -1

Значения пределов выносливости, полученные в результате испытаний на усталость, даются в справочниках по машиностроительным материалам. Соотношения между пределами прочности и выносливости, установленные на основе статистических данных приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Предел выносливости деталей ниже предела выносливости стандартных лабораторных образцов, используемых при испытании машиностроительных материалов на усталость. Снижение предела выносливости обусловлено влиянием концентрации напряжений, а также абсолютных размеров поперечного сечения и состояния поверхности деталей. Значения предела выносливости деталей определяются путем натурных испытаний либо по справочным расчетно-экспериментальным данным, устанавливающим влияние указанных факторов на сопротивление деталей усталости.

Натурными испытаниями обычно пользуются для определения пределов выносливости широко распространенных стандартных изделий и отдельных наиболее ответственных узлов и деталей. Так, на основе натурных испытаний установлены пределы выносливости бурильных труб, втулочно-роликовых цепей буровых установок, талевых канатов, подшипников и некоторых других стандартных изделий, применяемых в буровых машинах и оборудовании. В связи со сложностью натурных испытаний на усталость в практических расчетах на прочность преимущественно пользуются расчетно-экспериментальными данными, на основе которых предел выносливости детали определяется из выражения

где σ -1д - предел выносливости детали; σ -1 - предел выносливости стандартных лабораторных образцов из материала детали; К - коэффициент снижения предела выносливости:

Здесь К σ - эффективный коэффициент концентрации напряжений; К F - коэффициент влияния шероховатости поверхности; К d - коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения: K υ - коэффициент влияния поверхностного упрочнения.

Значения эффективных коэффициентов концентрации напряжений и коэффициентов влияния поверхностного упрочнения, полученные по расчетно-экспериментальным данным, приведены в табл. 4.1 и 4.2.

Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения определяется отношением предела выносливости гладких образцов диаметром d к пределу выносливости гладких лабораторных образцов диаметром 7-10 мм:

где σ -1 d - предел выносливости гладкого образца (детали) диаметром d; σ -1 - предел выносливости материала, определяемый на стандартных гладких образцах диаметром 7-10 мм.

Опытные данные показывают, что с увеличением поперечных размеров предел выносливости детали снижается. Это объясняется статистической теорией усталостных разрушений, согласно которой при увеличении размеров возрастает вероятность наличия в деталях внутренних дефектов в зонах повышенных напряжений - масштабный эффект. Проявлению масштабного эффекта способствуют ухудшение однородности материала, а также трудность контроля и обеспечения стабильности процессов изготовления деталей больших размеров. Масштабный эффект зависит главным образом от поперечных размеров и в меньшей мере от длины детали.

Влитых деталях и материалах, имеющих неметаллические включения, поры и другие внутренние и внешние дефекты, масштабный эффект проявляется больше. Легированные стали более чувствительны к внутренним и внешним дефектам, и поэтому для них влияние абсолютных размеров проявляется значительнее, чем для углеродистых сталей. В расчетах на прочность значения коэффициентов влияния абсолютных размеров поперечного сечения выбираются по графику (рис.4.5).

Шероховатость поверхности, окалины и коррозия существенно влияют на сопротивление усталости. На рис. 4.6 показан экспериментальный график, характеризующий изменение предела выносливости деталей при различном качестве обработки и состоянии поверхности. Коэффициент влияния шероховатости определяется отношением предела выносливости гладких образцов с поверхностью не грубее R a = 0,32 по ГОСТ 2789-73 к пределу выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности:

где σ -1 - предел выносливости тщательно полированных образцов; σ -1п - предел выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности.

Например, установлено, что при грубом шлифовании предел выносливости детали из стали с пределом прочности 1500 МПа оказывается таким же, как у стали с пределом прочности 750 МПа. Влияние состояния поверхности детали на сопротивление усталости обусловлено высоким уровнем напряжений от изгиба и кручения в наружных зонах детали и ослаблением поверхностного слоя вследствие его шероховатости и разрушения кристаллических зерен при резании.

По аналогичным формулам определяются пределы выносливости деталей при действии касательных напряжений.

Условия прочности при симметричном цикле переменных напряжений имеют вид:

при действии нормальных напряжений

при действии касательных напряжений

где п σ , п τ - коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям; σ -1д, τ -1д - пределы выносливости детали; σ а, τ а - амплитуды переменных напряжений; [п σ ], [п τ ] - минимально допустимое значение запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

При двухосном напряженном состоянии, возникающем в случае одновременного изгиба и кручения или растяжения-сжатия и кручения, запас прочности в расчетном сечении определяется из выражения

Минимально допустимое значение запаса прочности зависит от точности выбора расчетных нагрузок и полноты учета конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, влияющих на предел выносливости детали. В расчетах буровых машин и оборудования на выносливость минимально допустимые значения запасов прочности регламентируются отраслевыми нормами, указанными в табл. 2П приложения.При отсутствии отраслевых норм принимают допустимые запасы прочности [п]= 1,3÷1,5.

При действии асимметричных циклов детали рассчитывают на прочность на основе диаграммы предельных напряжений цикла (рис. 4.7), характеризующей зависимость между предельными напряжениями и средними напряжениями цикла для заданной долговечности. Диаграмма строится по экспериментальным значениям пределов выносливости, полученным для различных средних напряжений цикла. Это требует длительных испытаний по специальной программе. В практических расчетах используются более простые схематизированные диаграммы предельных напряжении, которые строят по экспериментальным значениям предела выносливости симметричного и отнулевого циклов и пределу текучести выбранного материала.

На диаграмме предельных напряжений точка А (0, σ -1) соответствует пределу выносливости симметричного цикла, точка В (σ 0 /2; σ 0) - пределу выносливости отнулевого цикла напряжений. Прямая, проходящая через эти точки, определяет максимальные предельные напряжения, циклов в зависимости от среднего напряжения. Напряжения ниже уровня ABC не вызывают разрушения при числе циклов N 0 , соответствующем базе испытаний. Точки, лежащие выше прямой ABC, характеризуют циклы напряжений, при которых разрушение происходит при числе циклов N

Прямая ABC, ограниченная в верхней части пределом текучести σ т, т. е. сопротивлением пластическим деформациям, называется линией предельных напряжений. Она выражается уравнением прямой, проходящей через две точки А и В с координатами (0, σ -1) и (σ 0 /2; σ 0):

Обозначив получим

При действии касательных напряжений формула (25) примет вид

Коэффициенты φ σ и φ τ характеризуют чувствительность материала к асимметрии цикла напряжений соответственно при действии нормальных и касательных напряжений (принимаются из технической литературы). Если на диаграмме провести из начала координат прямую под углом 45° (биссектрису координатного угла), то отрезок ОВ" == ВВ"-ВВ" будет соответствовать среднему напряжению, а отрезок ВВ" - предельной амплитуде цикла

где σ а - предельная амплитуда цикла, т. е. амплитуда напряжения, соответствующая пределу выносливости при заданном среднем напряжении цикла.

При увеличении среднего напряжения цикла σ т предел выносливости σ т ах возрастает, а предельная амплитуда цикла σ а уменьшается. Степень ее уменьшения зависит от чувствительности материала к асимметрии цикла, характеризуемой коэффициентом φ σ .

Таблица 4.6

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии, называются подобными и обозначаются на диаграмме предельных напряжений точками, лежащими на одном луче, проведенном под соответствующим углом β. Это видно из формулы

Экспериментально установлено, что отношение предельных амплитуд гладких образцов и образцов с концентрацией напряжений не зависит от среднего напряжения цикла. Согласно этому, коэффициенты концентрации напряжений принимаются одинаковыми для симметричных и асимметричных циклов, а продольная амплитуда напряжений для детали определяется по формуле

Максимальное предельное напряжение асимметричных циклов

Диаграмма предельных напряжений детали, показанная на рис. 4.8, используется для определения запасов прочности. Пусть напряжения (σ max , σ a , σ m ) действуют на деталь в точке М. Если ожидаемые перегрузки соответствуют условию простого нагружения, т е. происходят при постоянной степени асимметрии (R = const), то предельное напряжение для рассматриваемого цикла будет в точке N и запас прочности

В результате совместного решения уравнений линий предельных напряжений АС и ON определяются ордината точки N и запас прочности при действии нормальных напряжений

(29)

Аналогично при действии касательных напряжений

Если при перегрузках среднее напряжение не изменяется (σ m = const), а амплитуда растет, т. е. рабочие напряжения возрастают по прямой М" Р, то запас прочности

Детали буровых машин обычно работают в условиях простого нагружения, и запас прочности следует рассчитывать по формулам (29) и (30). При совместном действии нормальных и касательных напряжений запас прочности определяется по формуле (24).

Расчеты на выносливость при нестационарном нагружении базируются на следующих предположениях. Пусть нагрузки Р 1 , P 2 ,..., P i (или напряжения σ 1 , σ 2 , ….σ i ) действуют соответственно в течение N 1 ….N 3 ....N i циклов нагружения (рис. 9). Отношение фактического числа циклов N i действия некоторого напряжения σ i - к числу циклов N j при котором образец разрушается под действием того же напряжения σ i называют цикловым отношением.

Согласно гипотезе о суммировании усталостных повреждений, действие каждой группы нагрузок не зависит от порядка их чередования и одинаковые цикловые отношения различных по величине перегрузок вызывают одинаковую степень

усталостного повреждения.

В предположении линейного накопления усталостных повреждений

где а - экспериментально устанавливаемый коэффициент, принимаемый (в запас) равным единице.

При принятых обозначениях уравнение кривой выносливости 1 (рис. 9) имеет вид:

где σ R - предел выносливости при базовом числе циклов N 0 .

На основе принятых предположений нестационарное нагружение заменяют некоторым эквивалентным стационарным нагружением, действие которого эквивалентно фактическому нестационарному нагружению. В практике применяются различные варианты приведения нестационарного нагружения к эквивалентным стационарным нагружениям.

Любую из действующих нагрузок P i (чаще P max) или вызываемое ею напряжение σ i (σ max) принимают постоянной, действующей в течение соответствующего уровню нагружения так называемого эквивалентного числа циклов N 3 . Тогда, принимая, например, напряжение равным σ max , на основании формул (32) и (33) получим (а = 1)

(35)

где - коэффициент режима нагрузки.

Из формулы (35) следует, что при эквивалентном числе циклов N э

В другом варианте приведения нестационарное нагружение заменяют режимом с постоянным эквивалентным уровнем нагружения Р э (σ э), который действует в течение заданного срока службы, определяемого суммарным числом циклов ΣN i или числом N 0 , соответствующим точке перегиба кривой выносливости. Согласно этому

откуда выводится формула в следующем удобном для расчетов виде:

(37)

где - коэффициент эквивалентности.

Для расчета коэффициента эквивалентности используются статистические данные о величине нагрузок, возникающих в детали в процессе эксплуатации, и количестве циклов их повторения в продолжение одного блока нагружения, соответствующего бурению одной типовой скважины. Практически значения коэффициентов эквивалентности изменяются в пределах 0,5 ≤ К 0э ≤ 1.

При расчете по касательным напряжениям значение коэффициента эквивалентности К 0э определяются по формуле (36), в которой нормальные напряжения заменяются касательными, вызванными, передаваемыми крутящими моментами.

Запасы прочности при нестационарном нагружении определяются по формулам:

для симметричных циклов переменных напряжений

для асимметричных циклов переменных напряжений

Следует отметить, что величины коэффициентов эквивалентности зависят от проходки на долото, механической скорости бурения и других показателей, определяющих загрузку и оборачиваемость буровых машин и оборудования. При увеличении проходки на долото уменьшается загрузка подъемного механизма. На буровые насосы и ротор аналогично влияет повышение скоростей бурения. Это указывает на необходимость уточнения коэффициентов эквивалентности при существенных изменениях показателей бурения.

Определение исходных данных для расчетов на выносливость элементов трансмиссий . При расчетах на выносливость используется закон линейного накопления повреждений при многократном воздействии на элементы трансмиссий амплитуд разных уровней.

Определение исходных расчетных данных сводится к расчету эквивалентных нагрузок в виде произведения принимаемой в расчет основной нагрузки на коэффициент долговечности.

Эквивалентная нагрузка - это такая нагрузка, действие которой по эффекту накопления повреждений эквивалентно действию реальной нагрузки.

Методики для определения эквивалентных нагрузок элементов трансмиссий, базируются на следующих основных положениях.

1. Эксплуатационная нагруженность трансмиссий определяется средним значением
и коэффициентом вариации v крутящего момента, статистическое распределение амплитуд которого можно считать усеченным нормальным.

2. В качестве средней нагрузки
принимается крутящий момент в силовой цепи к органу, соответствующий реализации устойчивого момента M y двигателей.

3. Допустимой считается динамичность нагрузок для трансмиссии наиболее нагруженного органа, оцениваемая коэффициентом вариации v ≤ 0,6. При значениях v ≥ 0,6 следует принимать меры по его снижению, например, применять демпфирующие устройства и др.

Численные значения коэффициентов вариации v можно определять по расчетным зависимостям, либо по результатам вычислительного эксперимента, либо по данным экспериментальных исследований машин-аналогов.

Здесь - максимальный длительно действующий момент; - максимальная длительно действующая амплитуда крутящего момента;Р дл - максимальная длительно действующая нагрузка на подшипники, определяемая по М дл.

Значения коэффициентов долговечности определяются по зависимостям.

1. Для расчета зубьев колес на выносливость:

контактную

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ > 350

изгибную для деталей с твердостью поверхности НВ < 350

2. Для расчета валов:

на изгибную выносливость

на усталостную прочность при кручении

3. Для расчета долговечности шарико - и роликоподшипников:

Здесь - расчетное число циклов нагружений элементов трансмиссии;п - частота вращения детали, об/мин; Т р - расчетное время работы детали, ч (обычно принимают 5000 ч); N о - базовое число циклов нагружения, принимаемое в соответствии с рекомендациями (см. выше)

Соответствующие коэффициенты эквивалентности, принимаемые в зависимости от v .

При расчетах на выносливость зубьев колес по ГОСТ 21354-87, при определении расчетных напряжений в качестве нагрузки принимают M дл, а при определении:

Расчет металлических конструкций надлежит производить по методу предельных состояний или допускаемых. напряжений. В сложных случаях вопросы расчета конструкций и их элементов рекомендуется решать путем специально поставленных теорети­ческих и экспериментальных исследований. Прогрессивный метод расчета по предельным состояниям базируется на статистическом изучении действительной нагруженности конструкций в условиях эксплуатации, а также изменчивости механических свойств при­меняемых материалов. При отсутствии достаточно подробного статистического изучения действительной нагруженности кон­струкций тех или иных типов кранов расчеты их ведутся по ме­тоду допускаемых напряжений, базирующемуся на установлен­ных практикой коэффициентах запаса прочности. ­

При плоском напряженном состоянии в общем случае условию пластичности по современной энергетической теории прочности отвечает приведенное напряжение

где σ х и σ у - напряжения по произвольным взаимно перпендикулярным осям координат х иу . При σ у = 0

σ пр = σ Т , (170)

а если σ = 0, то предельные касательные напряжения

τ = = 0,578 σ Т ≈ 0,6 σ Т . (171)

Кроме расчетов на прочность для отдельных типов кранов существуют ограничения величин прогибов, которые имеют вид

f/l ≤ [f/l ], (172)

где f/l и [f/l ]- расчетное и допускаемое значения относительного статического прогиба f по отношению к пролету (вылету) l .Зна­чительные прогибы могут быть. безопасны для самой конструкции, но неприемлемы с эксплуатационной точки зрения.

Расчет по методу предельных состояний производится по нагрузкам, приведенным в табл. 3.

Примечания к таблице:

1. Комбинации нагрузок предусматривают следующую работу механизмов: . Iа и IIa – кран неподвижен; плавный (Ia) или резкий (IIа) подъем груза с земли или торможение его при опус­кании; Ib и IIb - кран в движении; плавный (Ib) и резкий (IIb) пуск или торможение одного из механизмов. В зависимости от типа крана возможны также комбинации нагрузок Ic и IIc и т. д.

2. В табл. 3 приведены нагрузки, постоянно действующие и регулярно возникающие при эксплуатации конструкций, образующие так называемые основные сочетания нагрузок.

Чтобы учесть меньшую вероятность совпадения расчетных нагрузок при более сложных их сочетаниях, вводятся коэффициенты сочета­ний n с < 1, на которые умножаются коэффициенты перегрузок всех нагрузок, за исключением постоянной. Коэффициент соче­таний основных и дополнительных нерегулярно возникающих нагрузок, к которым относятся технологические, транспортные и монтажные нагрузки, а также нагрузки от температурных воз­действий, принимается равным 0,9; коэффициент сочетаний основ­ных, дополнительных и особых нагрузок (нагрузки от удара о бу­фера и сейсмические) – 0,8.

3. Для некоторых элементов конструкций следует учитывать суммарное воздействие как комбинации нагрузок Ia со своим коли­чеством циклов, так и комбинации нагрузок Ib со своим количе­ством циклов.

4. Угол отклонения груза от вертикали а. может также рас­сматриваться как результат косого подъема груза.

5. Давление ветра рабочего Р b II и нерабочего - ураган­ного Р b III - на конструкцию определяется по ГОСТ 1451-77. При комбинации нагрузок Ia и Ib давление ветра на конструкцию обычно не учитывается в силу малой повторяемости в год рас­четных скоростей ветра. Для высоких кранов, имеющих период свободных колебаний низшей частоты более 0,25 с и установлен­ных в ветровых районах IV-VIII по ГОСТ 1451-77, учитывается давление ветра на конструкцию при комбинации нагрузок Ia и Ib.

6. Технологические нагрузки могут относиться как к случаю нагрузок II, так и к случаю нагрузок III.

Таблица 3

Нагрузки при расчетах по методу предельных состояний

Предельными называются состояния, при которых конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям. Метод расчета по предельным состояниям имеет целью не допускать наступления предельных состояний при эксплуатации в течение всего срока службы конструкции.

Металлические конструкции ТТ (подъемно-транспортных машин) должны удовлетворять требованиям двух групп предельных со­стояний: 1) потеря несущей способности элементов крана по проч­ности или потеря устойчивости от однократного действия наиболь­ших нагрузок в рабочем или нерабочем состоянии. Рабочим счи­тается состояние, при котором кран выполняет свои функции (табл. 3, случай нагрузок II). Нерабочим считается состояние, когда кран без груза подвержен только нагрузкам от собствен­ного веса и ветра или находится в процессе монтажа, демонтажа и транспортировки (табл. 3, случай нагрузок III); потеря несущей способности элементов крана вследствие разру­шения от усталости при многократном действии нагрузок различной величины за расчетный срок службы (табл. 3, случай нагрузок I, а иногда и II); 2) непригодность к нормальной эксплуа­тации вследствие недопустимых упругих деформаций или коле­баний, которые влияют на работу крана и его элементов, а также обслуживающего персонала. Для второго предельного состояния по развитию чрезмерных деформаций (прогибов, углов поворота) предельное условие (172) устанавливается для отдельных типов кранов.

Наибольшее значение имеют расчеты по первому предельному состоянию, так как при рациональном проектировании конструк­ции должны удовлетворять требованиям второго предельного состояния.

Для первого предельного состояния по несущей способности (прочности или устойчивости элементов) предельное условие имеет вид

N ≤ Ф ,(173)

где N - расчетная (наибольшая) нагрузка в рассматриваемом элементе, выраженная в силовых факторах (сила, момент, напря­жение); Ф - расчетная несущая способность (наименьшая) эле­мента соответственно силовым факторам.

При расчетах по первому предельному состоянию на проч­ность и устойчивость элементов для определения нагрузки N в формуле (171) так называемые нормативные нагрузки Р Н i (для конструкций подъемно-транспортных машин это максималь­ные нагрузки рабочего состояния, вводимые в расчет как на ос­новании технических условий, так и на основании опыта проек­тирования и эксплуатации) умножаются на коэффициент пере­грузки соответствующей нормативной нагрузки n i , после чего произведение Р Hi п i представляет собой наибольшую возможную за время эксплуатации конструкции нагрузку, называемую расчетной. Таким образом, расчетное усилие в элементе N в соответствии с расчетными сочетаниями нагрузок, приведенных в табл. 3, может быть представлено в виде

, (174)

где α i – усилие в элементе при Р Н i = 1, а расчетный момент

, (175)

где М Н i – момент от нормативной нагрузки.

Дляопределения коэффициентов перегрузки необходимо статистическое изучение изменчивости нагрузок по опытным данным. Пусть для данной нагрузки P i известна ее кривая распределения (рис. 63). Поскольку кривая распределения всегда имеет асимптотическую часть, при назначении расчетной нагрузки над­лежит иметь в виду, что нагрузки, которые больше расчетных(на рис. 63 область этих нагрузок заштрихована), могут вы­звать повреждение элемента. Принятие больших значений для расчетной нагрузки и коэффициента перегрузки уменьшает ве­роятность повреждений и снижает убытки от поломок и аварий, но приводит к увеличению веса и стоимости конструкций. Вопрос о рациональном значении коэффициента перегрузки должен решаться с учетом экономических соображений и требований без­опасности. Пусть для рассматриваемого элемента известны кри­вые распределения расчетного усилия N и несущей способности Ф. Тогда (рис. 64) заштрихованная площадь, в границах которой нарушается предельное условие (173), будет характеризовать вероятность разрушения.

Приведенные в табл. 3 коэффициенты перегрузки n > 1, так как они учитывают возможность превышения действительными нагрузками их нормативных значений. В случае, если опасным является не превышение, а уменьшение действительной нагрузки по сравнению с нормативной (например, нагрузка на консоли балки, разгружающая пролетное строение, при расчетном сече­нии в пролете), коэффициент перегрузки для такой нагрузки следует принимать равным обратной величине, т. е. n" = 1/n < 1.

Для первого предельного состояния по потере несущей способности от усталости предельное условие имеет вид

σ пр ≤ m К R, (176)

где σ пр – приведенное напряжение, а m К – см. формулу (178).

Расчеты по второму предельному состоянию по условию (172) производятся при коэффициентах перегрузки, равных единице, т. е. по нормативным нагрузкам (вес груза принимается равным номинальному).

Функция Ф в формуле (173) может быть представлена в виде

Ф = Fm К R , (177)

где F – геометрический фактор элемента (площадь, момент сопротивления и т. д.).

Под расчетным сопротивлением R следует понимать при расчетах:

на сопротивление усталости – предел выносливости элемента (с учетом числа циклов изменения нагрузки и коэффициентов концентрации и асимметрии цикла), умноженный на соответствую­щий коэффициент однородности по усталостным испытаниям, характеризующий разброс результатов испытаний, k 0 = 0,9, и деленный на k м – коэффициент надежности по материалу при расчетах на прочность, характеризующий как возможность изме­нения механических качеств материала в сторону их снижения, так и возможность уменьшения площадей сечения проката из-за установленных стандартами минусовых допусков; в соответствую­щих случаях следует учесть снижение первоначального предела выносливости нагрузками второго расчетного случая;

на прочность при постоянных напряжениях R = R п /k м – ­ частное от деления нормативного сопротивления (нормативного предела текучести) на соответствующий коэффициент надежности по материалу; для углеродистой стали k м = 1,05, а для низколегированной – k м = 1,1; таким образом, в отношении работы материала за предельное состояние принята не полная потеря его способности воспринимать нагрузку, а наступление больших пластических деформаций, препятствующих дальнейшему исполь­зованию конструкции;

на устойчивость -- произведение расчетного сопротивления на прочность на коэффициент уменьшения несущей способности сжимаемых (φ, φ вн) или изгибаемых (φ б) элементов.

Коэффициенты условий работы m К зависят от обстоятельств работы элемента, которые не учитываются расчетом и качеством материала, т. е. не входят ни в усилие N, ни в расчетное сопро­тивление R .Таких основных обстоятельств три, и поэтому можно принять

m K = m 1 m 2 m 3 , (178)

где m 1 – коэффициент, учитывающий ответственность рассчи­тываемого элемента, т. е. возможные последствия от разрушения; следует различать следующие случаи: разрушение не вызывает прекращения работы крана, вызывает остановку крана без повреж­дения или с повреждением других элементов и, наконец, вызы­вает разрушение крана; коэффициент m 1 может находиться в пре­делах 1–0,75, в особых случаях (хрупкое разрушение) m 1 = 0,6; m 2 – коэффициент, учитывающий возможные повреждения элементов конструкции в процессе эксплуатации, транспорти­ровки и монтажа, зависит от типов кранов; можно принимать т 2 = 1,0÷0,8; т 3 – коэффициент, учитывающий несовершенства расчета, связанные с неточным определением внешних сил или расчетных схем. Он должен устанавливаться для отдельных типов конструкций и их элементов. Можно принимать для плоских статически определимых систем т 3 = 0,9, .а для статически неоп­ределимых –1, для пространственных –1,1. Для изгибаемых элементов по сравнению с испытывающими растяжение-сжатие т 3 = 1,05. Таким образом, расчет по первому предельному состоянию на прочность при постоянных напряже­ниях производится по формуле

σ II <. m K R, (179)

а на сопротивление усталости, если переход к предельному со­стоянию осуществляется за счет увеличения уровня переменной напряженности, – по формуле (176), где расчетное сопротив­ление R определяется по одной из следующих формул:

R = k 0 σ -1К /k м;(180)

R N = k 0 σ -1К N /k м; (181)

R* = k 0 σ -1К /k м;(182)

R* N = k 0 σ -1К N /k м; (183)

где k 0 , k м - коэффициенты однородности по усталостным испы­таниям и надежности по материалу; σ –1K , σ –1KN , σ * –1K , σ * –1KN – пределы выносливости неограниченный, ограниченный, сниженный неограниченный, сниженный ограниченный соответственно.

Расчет по методу допускаемых напряжений производится по нагрузкам, приведенным в табл.4. Необходимо учитывать все примечания к табл. 3, кроме примечания 2.

Значения запасов прочности даны в табл. 5 и зависят от обстоятельств работы конструкции, не учитываемых расчетом, как например: ответственность, имея в виду последствия от разрушения; несовершенства расчета; отклонения в размерах и качестве материала.

Расчет по методу допускаемых напряжений производится в случаях отсутствия численных значений для коэффициентов перегрузки расчетных нагрузок для выполнения расчета по ме­тоду предельных состояний. Расчет на прочность производится по формулам:

σ II ≤ [σ ] = σ T / n II , (184)

σ III ≤ [σ ] = σ T / n III , (185)

где n II и n III – см. в табл. 5. При этом допускаемые напря­жения на изгиб принимают на 10 МПа (примерно на 5 %) больше, чем на растяжение (для Ст3 180 МПа), учитывая, что при из­гибе текучесть сначала проявляет­ся только в крайних фибрах и рас­пространяется затем постепенно на все сечение элемента, повышая его несущую способность, т. е. при из­гибе имеет место перераспределение напряжений по сечению за счет пла­стических деформаций.

При расчете на сопротивление усталости, если переход к предель­ному состоянию осуществляется за счет увеличения уровня переменной напряженности, должно выполняться одно из следую­щих условий:

σ пр ≤ [σ –1K ]; (186)

σ пр ≤ [σ –1K N ]; (187)

σ пр ≤ [σ * –1K ]; (188)

σ пр ≤ [σ * –1KN ]; (189)

где σ пр - приведенное напряжение; [σ –1K ], [σ –1K N ], [σ * –1K ], [σ * –1KN ] – допускаемые напряжения, при опреде­лении которых используется выражение [σ ] = σ –1K / n 1 или аналогично формулам (181) – (183) вместо σ –1K используются σ –1KN , σ * –1K и σ * –1KN . Запас прочности n I такой, как и при расчете статической прочности.

Рисунок 65 – Схема к расчету запаса по усталостной долговечности

Если переход к предельному состоянию осуществляется за счет увеличения числа циклов повторения переменных напряжений, то при расчете на ограниченную долговечность запас по усталост­ной долговечности (рис. 65) n д = Np/ N . Так как σ т пр Np = σ т –1K N б = σ т –1K N N ,

n д = (σ –1K N / σ пр) т = п т 1 (190)

и при n l = 1,4 и К = 4 n д ≈ 2,75, а при К = 2 n д ≈ 7,55.

При сложном напряженном состоянии наиболее соответствует экспериментальным данным гипотеза наибольших касательных октаэдрических напряжений, в соответствии с которой

(191)

и . Тогда запас прочности при симметричных циклах

т. е. п = n σ n τ / , (192)

где σ -IK и τ -lК - предельные напряжения (пределы выносливости), а σ а и τ a – амплитудные значения действующего симметричного цикла. Если циклы асимметричные, их следует привести к сим­метричным по формуле типа (168).

Прогрессивность.метода расчета по предельным состояниям заключается в том, что при расчетах по этому методу лучше учи­тывается действительная работа конструкций; коэффициенты перегрузки различны для каждой из нагрузок и определяются на основе статистического изучения изменчивости нагрузок. Кроме того, с помощью коэффициента надежности по материалу лучше учитываются механические качества материалов. В то время как при расчете по методу допускаемых напряжений надежность конструкции обеспечивается единым коэффициентом запаса, при расчете по методу предельных состояний вместо единого коэф­фициента запаса используется система трех коэффициентов: надежности по материалу, перегрузки и условий работы, уста­навливаемых на основании статистического учета условий работы конструкции.

Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям есть частный случай расчета по первому предельному состоянию, когда коэффициенты перегрузки для всех нагрузок одинаковы. Однако надо подчеркнуть, что метод расчета по предельным состояниям понятия запаса прочности не использует. Его не использует также разрабатываемый в настоящее время для краностроения вероят­ностный метод расчета. Выполнив расчет по методу предельных состояний, можно определить значение получающегося при этом коэффициента запаса прочности по методу допускаемых напря­жений. Подставляя в формулу (173) значения N [см. фор­мулу (174)] и Ф [см. формулу (177)] и переходя к напряже­ниям, получим значение запаса прочности

п = Σσ i n i k M / (m K Σσ i ). (193)

Расчеты по нормальным и касательным напряжениям прово­дятся аналогично.

Расчетные коэффициенты выбираются по специальным табли­цам.

При расчетах определяют запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям.

Запас прочности по нормальным напряжениям:

Запас прочности по касательным напряжениям:

где σ а - амплитуда цикла нормальных напряжений; τ а - ампли­туда цикла касательных напряжений.

Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми. Представленный расчет является проверочным и проводится при конструировании детали.

Контрольные вопросы и задания

1. Изобразите графики симметричного и отнулевого циклов из­менения напряжений при повторно-переменных напряжениях.

2. Перечислите характеристики циклов, покажите на графиках среднее напряжение и амплитуду цикла. Что характеризует коэф­фициент асимметрии цикла?

3. Опишите характер усталостных разрушений.

4. Почему прочность при повторно-переменных напряжениях
ниже, чем при постоянных (статических)?

5. Что называют пределом выносливости? Как строится кривая усталости?

6. Перечислите факторы, влияющие на сопротивление устало­сти.

306 Практическое занятие 6

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО РАЗДЕЛУ

«Сопротивление материалов»

Практическое занятие 6

Тема 2.2. Расчеты на прочность и жесткость

При растяжении и сжатии

Знать порядок расчетов на прочность и жесткость и расчет­ные формулы.

Уметь проводить проектировочные и проверочные расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Необходимые формулы

Нормальное напряжение

где N - продольная сила; А -площадь поперечного сечения.

Удлинение (укорочение) бруса

Е - модуль упругости; I - начальная длина стержня.

Допускаемое напряжение

[ s ] - допускаемый запас прочности.

Условие прочности при растяжении и сжатии:

Примеры расчетов на прочность и жесткость

Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равно­весии (рис. П6.1). Материал стержней - сталь, допускаемое напря­жение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого - 2 м, второго - 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлине­ние стержней. Форма поперечного сечения - круг.

Практическое занятие 6 307

Решение

1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие
точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статистики (закону действия и противодействия) реакция стержня численно
равна нагрузке на стержень.

Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).

Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей коорди­нат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1б).

Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.

R 1 = R 2 cos60°; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4кН.

Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. На­грузки на стержни: F 1= 57,4кН; F 2 = 115, 5 кН.

2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стерж­ней из условий прочности.

Условие прочности на сжатие: σ = N / A ≤ [σ] , откуда

Стержень 1 (N 1 = F 1):

308 Практическое занятие 6

Полученные диаметры округляем: d 1 = 25мм, d 2= 32 мм.

3. Определяем удлинение стержней Δ l = ----- .

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5 кН и моментом т = ЗкН∙м, оперта в точке А и подвешена на стержне ВС (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1м, материал - сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил. Система находится в равновесии, можно использовать уравне­ние равновесия для плиты: ∑т А = 0.

Rb - реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.

Практическое занятие 6 309

По третьему закону динамики ре­акция в стержне равна силе, действу­ющей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.

2. По условию прочности определяем потребную величину площади попе­
речного сечения: о = N / A ^ [а], откуда А > N /[ a ].

Допускаемое напряжение для материала стержня

Следовательно,

3. Подбираем сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1).
Минимальная площадь швеллера 6,16 см 2 (№ 5; ГОСТ 8240-89).
Целесообразнее использовать равнополочный уголок № 2

(d = Змм),- площадь поперечного сечения которого 1,13см 2 (ГОСТ 8509-86).

4. Определить удлинение стержня:

На практическом занятии выполняется расчетно-графическая работа и проводится тестовый опрос.

Расчетно-графическая работа

Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1, F 2 , F 3- Площади поперечных сечений А 1и А 2 .

310 Практическое занятие 6

Задание 2. Балка АВ, на которую действуют указанные на­грузки, удерживается в равновесии тягой ВС. Определить разме­ры поперечного сечения тяги для двух случаев: 1) сечение - круг; 2) сечение - уголок равнополочный по ГОСТ 8509-86. Принять [σ] = 160 МПа. Собственный вес конструкции не учитывать.

Практическое занятие 6 311

При защите работы ответить на вопросы тестового задания.

312 Практическое занятие 6

Тема 2.2. Растяжение и сжатие.

Расчеты на прочность и жесткость

Практическое занятие 7 313

Практическое занятие 7

Расчет на прочность при переменных напряжениях Расчет элементов строительных конструкций на выносливость сводится к проверке неравенства вида (19.3) Условие прочности при напряжениях, переменных во времени где (Тщад - максимальное нормальное напряжение; Rv - расчетное сопротивление усталости, зависящее от временного сопротивления материала; а - коэффициент, учитывающий число циклов нагружений; yv - коэффициент, зависящий от вида напряженного состояния и коэффициента асимметрии цикла. Например, для стальных конструкций коэффициент yv определяется по табл. 19.1. Таблица 19.1 Значение коэффициента yv для стальных конструкций "max Р Vv Растяжение Расчетное сопротивление усталости, а также коэффициент а учитывают качество обработки поверхности рассчитываемого элемента, его конструктивное исполнение, наличие концентраторов напряжений. Для частных видов конструкций соотношение (19.3) может принимать несколько отличную форму. Так, при расчете стальных конструкций мостов используется следующее неравенство: (19.4) где R - расчетное сопротивление при растяжении, сжатии и изгибе по пределу текучести материала; т - коэффициент условий работы; _ 1 а, 6 - коэффициенты, учитывающие марку стали и нестационарность нагружения; р - коэффициент асимметрии цикла переменных напряжений; (i - эффективный коэффициент концентрации напряжений. Коэффициент yv, определяемый выражением (19.5), описывает вид диаграммы предельных амплитуд с учетом концентрации напряжений, качества материала и обработки его поверхности, режима нагружения и других факторов. Пример 19.2. Раскос сквозного стального пролетного строения железнодорожного моста при прохождении поезда испытывает воздействие переменного осевого усилия. Наибольшее растягивающее усилие равно Nmnn= 1200 кН, наименьшее (сжимающее) усилие Wmr-=200 кН. Расчетное сопротивление R низколегированной стали марки 15XCHD равно 295 МПа. Коэффициент условий работы т = 0,9. Поперечное-сечение составное (рис. 19.20) и его площадь равна ЛпсШ, = 75 см. Рис. 19.20. Конструкция раскоса стального пролетного строения железнодорожного моста Решение. Коэффициент асимметрии цикла определяется так: IJVmml 1 Л"тах 6 В соответствии со СНиП 2.05.03-84 коэффициент Р принимается равным 1,5; параметры а = 0,72 и 5 = 0,24. Тогда Найдем максимальное нормальное напряжение: N^ 1200 103 ---=--7 = 160 МПа. Лпепо 75 10"4 Правая часть неравенства (19.4) принимает значение yvmR= 0,85 0,9 295 = 226,4 МПа>160 МПа. Следовательно, условие усталостной прочности раскоса выполняет ся. § 19.9. Понятие о малоцикловой усталости При многоцикловом усталостном разрушении, рассмотренном в предыдущих параграфах, материал деформируется упруго. Разрушение начинается в местах концентрации напряжений как результат развития зародившейся трещины и носит хрупкий характер (без появления Л заметных пластических деформаций). Другим видом усталости является малоцикловая усталость, под кото-Малоцикловая рой понимается разрушение при повторных упругопла-усталосгь стических деформациях; она отличается от многоцикло усталостного разрушения наличием макроскопической пластической деформации в зоне излома. Строгой границы между мног цикловом и малоцикловой устало-стями мровеетч нельз В СНиЛ 11-23- -81 отмечается, чти проверку стальных конструкций на малоцикловую про- Ответьте иа воп-чность следует выполнять при числе циклов, меньшем рос № 19 10 Ю\ Рассмотрим схематизированную диаграмму реформирования материала, показанную на рис. 19.21, а Рядом (рис. 19.21, 6) приведен график изменения напряжений во времени. При первом нагружении вдоль кривой ОАВ точка, изображающая состояние материала, движется вдоль диаграммы деформирования по линии О В Затем напряжения уменьшаются и та же точка движется по гинии BBiAi По достижении напряжением минимального значения начинается его возрастание и деформирование совершается Далее но замкнутой линии А,АВВ,. Размах деформаций за один цикл равен ^ "max £min> а размах пластических деформаций ^плтая 1L" 11 максимальная и минимальная пласти- I. ie e1Lir-д £ц ческие деформации ари циклическом изменении напряжений. Характер разрушения при малоциклозой усталости зависит от способности материала к накоплению пластически формаций при циклическом деформировании. Материалы назызаю*ся цикл 1чески стабильными, если остаточная деформация не меняется во зсех цикла*. Рассмотренный выше пример иллюстрирует особенности деформирования таких материалов. Для циклически разунрочняюшихся материалов хара-ктеоны увеличение остаточных Деформаций и рост суммарной пластической деформации. Исключим из этих уравнений перемещения и и v, для чего дважды дифференцируем первую строку по у, вторую - по х, третью - по х и у. Складывая верхние две строки и вычитая нижнюю, получим уравнение (20.6) Уравнение совместности деформаций Оно называется уравнением совместности деформаций, так как дает необходимую связь между деформациями, существующую при произвольных непрерывных функциях перемещений и, v (которые мы исключили). Если тело до деформации мысленно разбить на бесконечно малые «кирпичики», сообщить им деформации ех, еу и уху и попытаться сложить обратно в целое деформированное тело, то окажутся возможными два случая. В первом (рис. 20.5, а) все элементы плотно прилягут друг к другу. Такие деформации совместны, и им отвечает непрерывное поле перемещений. Во втором случае (рис. 20.5, б) между элементами возникают бесконечно малые разрывы и таким деформациям не отвечает какое-либо непрерывное поле перемещений. ц Поле деформаций, которому отвечает непрерывное поле перемещений, называют совместными деформациями. Деформации сов-В противном случае деформации называют несовместны- местные н несов-ми. местные Уравнения (20.3), (20.5) и (20.7) вместе составляют необходимые восемь уравнений, решение которых позволяет найти восемь неизвестных функций рассматриваемой плоской задачи. § 20.3. Определение напряжений по найденным из эксперимента перемещениям Ниже описано, как экспериментально получаются семейства интерференционных полос, представляющих изолинии какого-либо фактора, т. е. геометрическое место точек, в которых этот фактор имеет постоянное значение. Так, в методе муаров и голографичсской интерферометрии могут быть получены изолинии перемещений v = const и и = const. На рис. 20.6 привечена схема семейсг ва изолиний v;=const при плоском напряженном состоянии пластины. Покажем, как, используя уравнения теории упругости, перейти от перемещений к напряжениям. Формулы (20.5) дают возможность вычислить деформации Рис. 20.6. Численное определение деформаций по экспериментально полученному семейству изолиний перемещений для вертикальной линии. Частную производную (dv/dx)j=tgojj вычислим как тангенс угла наклона секущей, проведенной через точки (i - 1) и (/+ 1). Поступая аналох ично и для производной по координате у, найдем Численное диффе- (20.10) реицирование в плоской задаче Аналогично поступают и с семейством изолиний и=const Наметив сетку линий, параллельных осям координат х и у, по формулам (20.9) и (20.10) строят поле деформаций, а затем поле напряжений в исследуемой модели. Так как узловые точки ортогональной сетки в общем случае не совпадают с точками пересечения с изолиниями, то для вычисления деформаций и напряжений в узлах применяют формулы интерполирования. Существуют устройства и соответствующие программы для персональных ЭВМ, позволяющие обработать сетку изолиний в автоматическом режиме. Далее рассмотрим эксперимент с изгибаемой пластиной, для которой получено семейство изолиний прогибов vv = const (рис. 20.7, а). В теории изгиба пластин по аналогии с гипотезой плоских сечений используется гипотеза прямой нормали, согласно которой линия т-и, переходя в положение т,-и, остается прямой (рис. 20.7, б). Тогда при малых прогибах (px-dw/dx, (py-dwjdy и перемещения в горизонтальной плоскости произвольной точки с координатой z будут dw v= -(pyz= -z -. By (20.11) Подставляя формулы (20.11) в (20.9), получим 8 2 и* V" 82w 8хду 82w yxy=-2z (20.12) - Z еу--г Напряжения хху, распределенные по толщине пластины h по линейному закону (рис. 20.7, в), могут быть вычислены при известных деформациях (20.12) по закону Гука (20.8). Для определения вторых производных от функции прогибов вначале получают по формулам интерполирования поле прогибов в узлах ортогональной сетки линий, фрагмент которой показан на рис. 20.8. Тогда производные в точке К можно вычислить по формулам численного дифференцирования: