Что такое бесконечные малые функции
Однако бесконечно малой функция может быть только в конкретной точке. Как показано на рисунке 1, функция бесконечно мала только в точке 0.
Рисунок 1. Бесконечно малая функция
Если предел частного двух функций в результате дает 1, функции называются эквивалентными бесконечно малыми при стремлении х к точке а.
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =1\]
Определение
Если функции f(x), g(x) бесконечно малые при $х > а$, то:
- Функция f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x), если выполняется условие: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =0\]
- Функция f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x), если отличен от 0 и конечен предел: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g^{n} (x)} =A\]
Пример 1
Функция $y=х^3$ является бесконечно малой высшего порядка при х>0, в сравнении с функцией y=5x, так как предел их отношения равен 0, это объясняется тем, что функция $y=х^3$ стремится к нулевому значению быстрее:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} }{5x} =\frac{1}{5} \mathop{\lim }\limits_{x\to 0} x=0\]
Пример 2
Функции y=x2-4 и y=x2-5x+6 являются бесконечно малыми одного порядка при х>2, так как предел их отношения не равен 0:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{x^{2} -4}{x^{2} -5x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x+2)}{(x-3)} =\frac{4}{-1} =-4\ne 0\]
Свойства эквивалентных бесконечно малых
- Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
- Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут стать приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак ≈ применяется как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.
При нахождении пределов очень часто приходится применять замену эквивалентных функций для быстроты и удобства вычислений. Таблица эквивалентных бесконечно малых представлена ниже (табл.1).
Эквивалентность бесконечно малых приведенных в таблице можно доказать, опираясь на равенство:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =1\]
Таблица 1
Пример 3
Докажем эквивалентность бесконечно малых ln(1+x) и x.
Доказательство:
- Найдем предел отношения величин \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} \]
- Для этого применим свойство логарифма: \[\frac{\ln (1+x)}{x} =\frac{1}{x} \ln (1+x)=\ln (1+x)^{\frac{1}{x} } \] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } \]
- Зная, что логарифмическая функция непрерывна в своей области определения, можно поменять местами знак предела и логарифмической функции: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)\]
- Поскольку х -- бесконечно малая величина, предел стремиться к 0. Значит: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)=\ln e=1\]
(применили второй замечательный предел)
Пусть a (x ) и b (x ) – б.м. функции при x ® a (x ® + ¥, x ® –¥, x ® x 0 , …). Рассмотрим предел их отношения при x ® a .
1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a (x ), b (x ) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a .
2. Если = 0, то a (x ) называют бесконечно малой высшего порядка , чем b (x ) при x ® a . Очевидно, в этом случае = ¥.
3. Если a (x ) – б.м. высшего порядка, чем b (x ), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N ), то a (x ) называют бесконечно малой k -го порядка, по сравнению с b (x ) при x ® a .
4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a (x ), b (x ) называют несравнимыми б.м. при x ® a .
5. Если = 1, то a (x ), b (x ) называются эквивалентными б.м. при x ® a , что обозначается так: a (x ) ~ b (x ) при x ® a .
Пример 1 . a (x ) = (1 – x ) 3 , b (x ) = 1 – x 3 .
Очевидно, что при x ® 1 функции a (x ), b (x ) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:
Вывод: a (x b (x ) при x ® 1.
Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a (x ) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b (x ) при x ® 1.
Пример 2 . Функции a 1 (x ) = 4x , a 2 (x ) = x 2 , a 3 (x ) = sinx , a 4 (x ) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:
0, 
, = 1, = ¥.
Отсюда заключаем, что a 2 (x ) = x 2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с a 1 (x ) и a 3 (x ) (при x ® 0), a 1 (x ) и a 3 (x ) – б.м. одного порядка, a 3 (x ) и a 4 (x ) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0.
Теорема 1 . Пусть a (x ) ~ a 1 (x ), b (x ) ~ b 1 (x ) при x ® a . Если существует , то существует и , и = .
Доказательство. = 1, = 1,
= 
= .
Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.
Пример 3
.
Найти .
В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x , tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому
Теорема 2 . Бесконечно малые функции a (x ) и b (x ) эквивалентны (при x ® a ) тогда и только тогда, когда a (x ) – b (x ) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ) (при x ® a ).
Доказательство
Пусть a
(x
) ~ b
(x
) при x
® a
. Тогда 
= 
= 0, т.е. разность a
(x
) – b
(x
a
(x
) при при x
® a
(аналогично с b
(x
)).
Пусть a (x ) – b (x ) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ), покажем, что a (x ) ~ b (x ) при x ® a :
= 
= 
+ = 1,
Что такое бесконечные малые функции
Однако бесконечно малой функция может быть только в конкретной точке. Как показано на рисунке 1, функция бесконечно мала только в точке 0.
Рисунок 1. Бесконечно малая функция
Если предел частного двух функций в результате дает 1, функции называются эквивалентными бесконечно малыми при стремлении х к точке а.
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =1\]
Определение
Если функции f(x), g(x) бесконечно малые при $х > а$, то:
- Функция f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x), если выполняется условие: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =0\]
- Функция f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x), если отличен от 0 и конечен предел: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g^{n} (x)} =A\]
Пример 1
Функция $y=х^3$ является бесконечно малой высшего порядка при х>0, в сравнении с функцией y=5x, так как предел их отношения равен 0, это объясняется тем, что функция $y=х^3$ стремится к нулевому значению быстрее:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} }{5x} =\frac{1}{5} \mathop{\lim }\limits_{x\to 0} x=0\]
Пример 2
Функции y=x2-4 и y=x2-5x+6 являются бесконечно малыми одного порядка при х>2, так как предел их отношения не равен 0:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{x^{2} -4}{x^{2} -5x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x+2)}{(x-3)} =\frac{4}{-1} =-4\ne 0\]
Свойства эквивалентных бесконечно малых
- Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
- Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут стать приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак ≈ применяется как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.
При нахождении пределов очень часто приходится применять замену эквивалентных функций для быстроты и удобства вычислений. Таблица эквивалентных бесконечно малых представлена ниже (табл.1).
Эквивалентность бесконечно малых приведенных в таблице можно доказать, опираясь на равенство:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =1\]
Таблица 1
Пример 3
Докажем эквивалентность бесконечно малых ln(1+x) и x.
Доказательство:
- Найдем предел отношения величин \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} \]
- Для этого применим свойство логарифма: \[\frac{\ln (1+x)}{x} =\frac{1}{x} \ln (1+x)=\ln (1+x)^{\frac{1}{x} } \] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } \]
- Зная, что логарифмическая функция непрерывна в своей области определения, можно поменять местами знак предела и логарифмической функции: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)\]
- Поскольку х -- бесконечно малая величина, предел стремиться к 0. Значит: \[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)=\ln e=1\]
(применили второй замечательный предел)
Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин
1. Предел числовой последовательности
2. Предел функции
3. Второй замечательный предел
4. Сравнение бесконечно малых величин
Литература
1. Предел числовой последовательности
Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.
Определение 1.1. Если каждому натуральному числу
по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел называется числовой последовательностью.Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.
Определение 1.2. Число
называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут
.Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.
Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа
существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность
сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда .Отсюда следует, что
, то есть необходимость доказана.Достаточность. Дано, что
. Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.Возьмем произвольное
. Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие . и зафиксируем некоторое . Тогда для всех получим: .Отсюда следует, что
Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функции являются бесконечно малыми, чего нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может дать разные результаты.
Например, если а(х) = 2х, р(х) = Зх, то
Если же а(х) = х 2 , Р (л;) = х 3 , то
Целесообразно ввести правила сравнения бесконечно малых функций с использованием соответствующей терминологии.
Пусть при х -» а функции а(х) и p(.v) бесконечно малые. Тогда различают следующие варианты их сравнения, в зависимости от величины с предела в точке а их отношения:
- 1. Если с = I, то а (х) и Р (х) - эквивалентные бесконечно малые: а(х) - р(х).
- 2. Если с = 0, то а(х) - бесконечно малая более высокого порядка, чем р(х) (или имеет более высокий порядок малости).
- 3. Если с = d * 0 (d - число), то а(х) и Р(х) - бесконечно малые одного порядка.
Часто бывает недостаточно знания, что одна бесконечно малая по отношению к другой является бесконечно малой более высокого порядка малости, нужно еще оценить величину этого порядка. Поэтому используется следующее правило.
4. Если Mm - - =d*0, то а(х) - бесконечно малая л-го порядка отно- *->лр"(*)
ситсльно Р (х). В этом случае используют символ о «о малое»): а(х) = о(Р(х)).
Заметим, что верны аналогичные правила сравнения бесконечно малых функций при х -»оо, х -» -оо, х -> +«>, а также в случае односторонних пределов при х -» а слева и справа.
Из правил сравнения вытекает одно важное свойство:
то существует и предел lim 1 , причем оба этих предела равны.
В ряде случаев доказанное утверждение упрощает вычисление пределов и проведение оценок.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функции sin х и х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно малыми в силу предела (8.11), т.с. при х -> 0 sin х ~ х.
Действительно, мы имеем:
- 2. Функции sin кх и sin х являются при д: -> 0 бесконечно малыми одного порядка, поскольку
- 3. Функция а(х) = cos ах - cos bx (а * Ь) является при х -» 0 бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой.v, так как
Пример 7. Найти lim
*-+° х + х"
Решение. Так как sin кх ~ кх и х + х 2 ~ х:
Сравнение бесконечно больших функций
Для бесконечно больших функций также имеют место аналогичные правила сравнения, с той лишь разницей, что для них вместо термина «порядок малости» употребляется термин «порядок роста».
Поясним сказанное на примерах.
1. Функции f(x) = (2 + х)/х и g(x) = 2/х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно большими, поскольку
Данные функции /(х) и #(*) имеют одинаковый порядок роста.
2. Сравним порядки роста функций f(x) = 2х? + I и g(x) = х 3 + х при х -> для чего найдем предел их отношения:
Отсюда следует, что функция g (х) имеет более высокий порядок роста, нежели функция / (х).
3. Бесконечно большие при х -» °о функции/(х) = Зх 3 + х и #(х) = х 3 - 4х 2 имеют одинаковый порядок роста, так как
4. Функция /(х) = х 3 + 2х + 3 является при х -» бесконечно большой
третьего порядка по отношению к бесконечно большой функции g (х) = х - I, поскольку
